İngiltere, Cornwall'daki Eden Projesi'ndeki altıgen jeodezik kubbe yapılarının çeşitli görüntüleri.
Aşağıdaki, altıgenlerin bazı temel özelliklerine ve neden faydalı olabileceklerine dair kısa bir araştırmadır. Konunun kapsamlı bir tedavisi olması amaçlanmamıştır. Buradaki özel endişem, altıgenlerin matematiksel özellikleri ve bir dereceye kadar doğal dünyadaki rolleri. İnsan kültürü, din, tarih ve diğer "yerel" kaygılarla ilgili olarak altıgenleri tartışmaktan kaçındım, ancak bu alanlarda çok etkileyici altıgenlik ve altılılık örnekleri var ve başka bir yerde daha tam olarak ele alınacaklarına hiç kuşku yok .
Bu makale devam eden bir çalışmadır ve gerçekten anlamlı bir şekilde "yapılmamıştır". Son güncellemesi itibariyle güncel. Bir noktada, daha kapsamlı ve anlamlı bir altıgen kavram araştırması ile değiştirmeyi veya en azından tamamlamayı planlıyorum. Bu makalede, altıgenlerin ilginç özelliklerinin sadece çok küçük bir kısmının araştırıldığını ve bu sitede mevcut olan çeşitli malzemelerin toplamından kalitelerinin daha eksiksiz bir görünümünün ortaya çıkacağı umulmaktadır.
Terminoloji hakkında bir not: Genel adetim olduğu gibi ve aksi belirtilmediği sürece "altıgen" yalnızca normal altıgenleri belirtir. Buna ek olarak, bu konuda "gevşek" hakkında gevşekçe konuşma eğilimindedir. Bir şeyleri "altıgen" olarak tanımlarken, genellikle tüm altıgen ve altıgen benzeri simetrilere çok geniş bir anlamda atıfta bulunuyorum ve mutlaka normal altıgenler değil.
Altıgenler hakkında bazı gözlemler
Bir altıgen, altı kenar ve altı köşeli bir kapalı düzlem şeklidir. Düzenli altıgen, aynı uzunlukta kenarlara ve 120 derecelik iç açılara sahip dışbükey bir rakamdır. Bu, altı dönme simetri ve altı yansıma simetrilerini sahiptir oluşturan dihedral grup D 6 .
Altıgenlerin özellikleri çok sayıda ve ilginçtir. İlk bakışta, onlar hakkında bazı gerçekler göze çarpıyor:
- Altıgenler, Öklid düzlemini (kare ve üçgenlerle birlikte) mozaiklemek için yalnızca üç normal poligondan biridir.
- Altıgen mozaikleme, bir düzlemdeki dairelerin yakın bir şekilde paketlenmesiyle kombinatoryal olarak aynıdır.
- Altıgenler, başka bir normal çokgene bölünebilen tek normal çokgendir. (Bildiğim kadarıyla, altıgenler bu özelliğe sahip herhangi bir boyuttaki tek normal poliproptur.)
- İlgili bir durumda, altıgenler, merkez ile her köşe arasındaki mesafenin her bir tarafın uzunluğuna eşit olacağı şekilde (bu özelliği 3-uzayda cuboctahedron ile paylaşan) olacak şekilde benzersiz normal çokgendir .
- Altıgenler, Euclid uzayda düzenli bir dışbükey polyhedronun yüzlerini oluşturmayan, çok sayıda yükseldiğinde ilk çokgenlerdir. Daha az kenarı olan üç çokgen, beş platonik katının yüzeyini oluşturur, ancak bu amaçla altı veya daha fazla kenarı olan bir çokgen kullanılamaz. Bunun bir sonucu olarak, herhangi bir boyutta hiçbir normal polipopun altıgen yüzleri yoktur - birçoğunun altıgen benzeri veya altıgen simetrik köşeleri veya diğer elementleri olmasına rağmen.
- Altıgenler üçüncü dereceden permutohedradır , yani bir altıgenin her köşesi, 1, 2 ve 3 sayılarının altı permütasyonundan birini kullanarak Kartezyen koordinatlarla tanımlanabilir. Bu tür bir altıgen, ekleyen koordinatlara sahip tüm noktalardan oluşan bir düzlemde uzanır. 6'ya kadar ve 1 ve 3 koordinatları arasında birim uzunluk 2 olan bir küp kesecekti.
Altıgenlerle ilgili başka ilginç bir şey - ve belki de onlar hakkındaki en çarpıcı gerçek - aslında altı yüze sahip olmalarıdır. O zaman altı numarayla ilgili bazı ilginç gerçekleri sıralamak için bir dakikanızı ayıralım:
- Altı, son derece bileşik bir sayı, en küçük ikinci bileşik sayı ve ilk mükemmel sayıdır. Yani, 1 * 2 * 3 = 1 + 2 + 3 = 6.
- İlgili bir konuda, altı ardışık üç doğal sayının (1, 2 ve 3) hem toplamı hem de çarpımı olan tek sayıdır.
- Altı, en küçük bileşik kare olmayan tamsayıdır ve uzantı olarak, iki farklı asal faktöre sahip ilk doğal sayıdır (2 ve 3).
- Küplerin altı tarafı vardır ve onlar da oldukça faydalıdır.
Ve bunun gibi. Altının benzersiz ve ilginç özelliklerinin çoğunun, sonuçta ilk üç doğal sayının ürünü ve toplamı olduğu ve daha felsefi bir anlamda, arketipsel değerleri birleştirdiği görülebileceği açıktır. birlik, dualite ve trinity biraz dengelenmiş bir bütün halinde. Birlik, üçlülüğe ayrılır (bu, üçlülüğe bağlanır (bir artı iki ya da iki, bir taneye birleştirilir), daha sonra saygın altımızı üretmek için ikili ya da birlikle yeniden birleştirilir ( ya ek ya da çarpımla) .
Tabii ki, başka birçok altıgen ve altıgen uygun sayı vardır ve altıgenliği sadece altıyla ilişkilendirmek bir hata olur. Örneğin, yedi kişi, insan kültüründe ve özellikle de belirli dini geleneklerde belirgin biçimde öne çıkmıştır. Eğer biri geri dönüp böyle bir yedili ile ilişkili çeşitli geometrik biçimlere bakarsa, genellikle altıgen paketli çemberler veya altıgen mozaikleme biçiminde bir merkez varlık etrafında altı çevre birimi oluşturmak için anlaşıldıkları açıktır. Görüldüğü gibi, sekiz ve on gibi altıgen olmayan sayılar da çeşitli ortalanmış altıgen sayılar , normal altıgen sayılar, vb. Gibi altıgen çağrışımlardır . On iki gibi altı sayının katları hakkında hiçbir şey söylememek ki bu da gerçekten büyük bir rakamkendi içinde (1, 2, 3 durumuna 4 bölünebilirlik eklenmesi). Fakat kesinlikle, altının altıgenlikle ayrı bir bağlantısı olduğunu söylemeye gerek yok ve bu açıdan benzersiz ve ilginç özelliklerinin farkında olmaya değer.
Sonunda benim iddiam, evrenin matematiksel ve fiziksel temellerine ne kadar çok bakarsanız, o kadar belirgin ve ilginç altıgenler, altılar ve diğer matematiksel sistemlerdeki çeşitli analogları olur. Bu makalenin kapsamı dışında, herhangi bir genel yorumu yorumlamaktan başka bir şey yoktur, ancak gerçeklik hakkındaki yorumlarımızda ve ilişkilerimizde dikkat edilmesi gereken ve dikkate değer bir şeydir.
Bu noktada yukarıda ortaya çıkan altıgen meselelerin çoğunda genişlemek istiyorum.
Altıgenlerin temel geometrisi
Asil altıgenin temel oranlarına ve oranlarına daha yakından bakmak için bir dakikanızı ayıralım:
Düzenli bir altıgenin özeti, 3'ün karekökünün yarısına eşittir. Bu, her bir tarafa 1 uzunluk verilen bir birim altıgen ile gösterilebilir. Daha sonra tepe-tepe çapını kullanarak bir dik üçgen çizebiliriz. altıgen bir hipotenüs olarak. Böyle bir altıgenin çapının 2 olduğu bilindiğinden, üçgenin tanımsız bir kenarına bıraktık, altıgenin iki zıt kenarı arasındaki uzaklığa eşit (ki bu iki kez aynı). Bu kenarı x olarak adlandıralım . Pisagor teoremi daha sonra bize 1 2 + x 2 = 2 2 olduğunu söyledi . Sonra 1 + x 2 = 4, x 2 olur.= 3 ve böylece x = √3. Bu nedenle, normal bir altıgenin "yükseklik" ile "genişlik" √3 / 2'ye eşittir. Quod dönemi gösteri gösterisi.
Bunun ilginç bir sonucu, normal altıgenlerin ve eşkenar üçgenlerin aynı "genişlik" ile "yükseklik" arasında aynı orana sahip olmalarıdır. Yani, bir altıgenin ve bir üçgenin minimum çapı diameter3 / 2 maksimum çapıdır. Aslında, √3 üçgen ve altıgen geometri boyunca yinelenen bir değerdir; örneğin, bir küpün iki zıt köşesi arasındaki çapraz mesafe de √3'e eşittir (benzer bir nedenden dolayı square2 olan bir karenin köşegen genişliğine kıyasla) yukarıda belirtilenler). Bunun bir sonucu olarak, elbette √3 , çeşitli 60 ve 30 derecelik değerlerin ifadesinde öne çıkan düzlem trigonometrisinde belirgin özelliklere sahiptir .
Bir altıgenin alanı da √3 ile hesaplanabilir. Öncelikle altıgenimizin kenar uzunluğunu s olarak tanımlayalım . Daha sonra alanı s 2 √3 olan altıgenin iki zıt kenarı arasına bir dikdörtgen çizebiliriz . Daha sonra, üzerinde 4 sağ üçgen bölüm kaldığını ve altıgenin kendisinin, 8'in dikdörtgene eklediğimiz 12 üçgenden oluşabileceğini düşünürsek, altıgenin toplam alanının net olduğu açıktır. dikdörtgenin alanının bir buçuk katıdır. Bu nedenle, s 2 √3 (3/2). Quod erat faciendum.
(Bu aynı zamanda normal bir dışbükey poligonun alanının, çevre çarpımına ve apothem'in 2'ye bölündüğü (bu durumda, 6s√3 / 2/2) olduğu daha genel bir prensip örneğidir. n taraflı bir dışbükey poligonu 2 n sağ üçgene bölebiliriz , merkezden her bir köşeye ve merkezden her kenarın ortasına kadar çizgi parçaları çizerek. Böylece oluşturulan sağ üçgenler, apothem alanı ile kenar uzunluğu ile çarpılarak bir dikdörtgen oluşturmak üzere birleştirilebilir, bu nedenle, apothem ürününü ve toplam çevre alanını ikiye bölerek, poligonun toplam alanına ulaşırız. .)
Altıgen mozaikleme
Daha önce belirtildiği gibi, altıgenler düz bir iki boyutlu düzlemde düzenli bir şekilde döşenebilir veya mozaikleştirilebilir. Yani, bir altıgen, altı tane altıgen ile sınırlandırılabilir; bunlar, altı adet altıgen (birbirleri dahil olmak üzere) ile sınırlandırılabilir, vb. İki veya daha fazla çokgen türünden oluşan çok sayıda potansiyel eğim olmasına rağmen, yalnızca altıgenler, kareler ve üçgenler bu tür normal eğimleri kendi başlarına oluşturabilir. (Benzer şekilde, üç boyutta, üniform polihedralar arasında, sadece altı taraflı küp ve altıgen-analog olarak kesilmiş oktahedron kendi başına boşluk doldurma mozaiklerini oluşturabilir.)
Altıgen, elbette, bu nedenle, en yüksek taraflı tessellable düzenli poligondur. Bu, onu çeşitli alanlarda benzersiz bir şekilde önemli kılar, çünkü her bir altıgen altı köşeyi komşularından daha fazla veya daha az eşit bir şekilde ayırma avantajına sahiptir. Yani, bir altıgenin içindeki herhangi bir nokta (altıgenlerin döşenmesinde olsun ya da olmasın), o altıgenin merkezine eşit alanlı bir karenin veya üçgenin içindeki herhangi bir noktadan daha yakındır. Kareler ve üçgenler daha keskin açılara sahip olduklarından, köşelerinin yakınında bulunan noktalar, bölgelerinde başka bir noktadaki noktalardan altıgen içindeki benzer konumlardan daha uzaktır. Şimdi aynı şey daha yüksek kenarlı çokgenler için de geçerli olacaktı - belli bir alanın çevrilmesi için ideal verimlilik, sonuçta bir çemberdi. Fakat yine de, altıgenler mozaikleme avantajına sahiptir. Böylece,ve bu hücre alanının verimli bir şekilde kapatılması, altıgen bir mozaikleme mantıksal ve gerekli seçimdir. Altıgen hücrelerin bu kullanımının yaygın örnekleri, hücresel otomatlar, istatistiksel örnekleme, tahta oyunları, bilgisayar oyunları , saygın bal arısının tarağı gibi çeşitli alanlarda bulunabilir .
Altıgen mozaikleme işleminin bir özelliği, köşegen kenar oluşturmamasıdır. (Burada "köşegen" derken, sadece bir kenarlık sınırını değil, sadece bir kenarlık sınırını paylaşan komşular kastediyorum - bunun için daha kesin bir matematiksel terim bilmiyorum, bunun tam olarak "köşegen" in tam olarak ne anlama geldiğini bilmiyorum. terimin anlamı.) Üçgenlerin ve karelerin eğilmelerine bakarsanız, elbette her ikisinin de köşelerinde bitişik elemanlar arasında çapraz bağlantı olduğunu göreceksiniz. Bir kare mozaiklemede, her bir kare doğrudan her iki tarafta bir kareye ve her bir tepe üzerinde çapraz olarak bir kare, sekiz toplam komşu kare için ve bir üçgen mozaiklemede her üçgenin her iki taraftaki bir üçgene ve her üç köşegen üzerinde üç üçgen bağlanır vertex, toplam on iki komşu üçgen için. Bu diyagonal bağlantılar, elbette, kare ve üçgenlerin düzenli polihedra oluşturma kabiliyetinin anahtarıdır - köşegen komşuları bir karenin etrafından sökerek, biri diğer komşu kareleri doğrudan bir araya gelinceye kadar bir araya gelinceye kadar kolayca geriye katlayabilir. küp, ve benzer şekilde bir üçgen, bir üçgen, iki veya üç diyagonal komşunun kaldırılmasıyla, kalan üçgenler sırasıyla bir icosahedron, oktahedron veya tetrahedron içerisine katlanabilir. (Her ikisi de çapraz olarak bağlanan normal çokgenlerin her ikisi de, bu şekilde geri katlandığında düzenli polihedralar oluşturduğuna rağmen, bunun yüzeyinde, bunun özel bir nedeni yoktur.
Biri, bir küp oluşturmak için birbirlerine doğrudan birleşene kadar kalan komşu kareleri kolayca geriye katlayabilir ve benzer şekilde bir üçgen, bir, iki veya üç diyagonal komşuyu bir üçgenden çıkararak, kalan üçgenleri bir icosahedron, oktahedron veya tetrahedron içine katlayabilir. sırasıyla. (Her ikisi de çapraz olarak bağlanan normal çokgenlerin her ikisi de, bu şekilde geri katlandığında düzenli polihedralar oluşturduğuna rağmen, bunun yüzeyinde, bunun özel bir nedeni yoktur. biri, bir küp oluşturmak için birbirlerine doğrudan birleşene kadar kalan komşu kareleri kolayca geriye katlayabilir ve benzer şekilde bir üçgen, bir, iki veya üç diyagonal komşuyu bir üçgenden çıkararak, kalan üçgenleri bir icosahedron, oktahedron veya tetrahedron içine katlayabilir. sırasıyla. (Her ikisi de çapraz olarak bağlanan normal çokgenlerin her ikisi de, bu şekilde geri katlandığında düzenli polihedralar oluşturduğuna rağmen, bunun yüzeyinde, bunun özel bir nedeni yoktur.durum böyle olmalı .) Tersine, bu yüzden altıgenler kendi başlarına düzenli polihedralar oluşturamazlar. Bir altıgenin her bir dış açısı 120 derecedir ve tek olası köşe yapılandırması - Öklid uzayda - 360 derece toplamda üç komşu açıya sahiptir (elbette "dejenere" altıgen dihedron hariç burada amaçlarımız).
Altıgen mozaikleme üçgen mozaiklemenin ikilisidir; tüm köşeleri üçgenlerle ve tüm altıgenleri köşelerle değiştirerek birincisini ikincisine dönüştürebilirsiniz. Aynı şekilde, üçgen biçimindeki bir mozaiklemede, tüm üçgenleri köşelerle ve tüm köşeleri altıgenlerle değiştirirseniz, yine altıgen bir mozaiklemeyle bırakılırsınız. (Ters miktarlarda dış elemanlara sahip herhangi bir polipop veya mozaik, aynı ilke ile ters çevrilebilir: oktahedron, küpün tersidir ve ikosahedron, dodecahedron'un tersidir - her biri, karşıtının tepe / yüzünü temsil eder. Belirli bir nesnenin Schläfli sembolünü tersine çevirerek noter olarak gösterilebilir- Altıgen ve üçgen mozaikleme durumunda, {6,3} ila {3,6} olarak değiştirilir veya tam tersi yapılır.) Ayrıca, altıgenler eşkenar üçgenlere bölünebilir ve eşkenar üçgenler altıgenler olarak birleştirilebilir. Üçgen mozaikleme altıgen basit bir alt bölümü olarak kabul edilebilir veya tam tersi olabilir.
Altıgen mozaikleme veya altıgen kafeslerin göz önünde bulundurulmasının son bir avantajı, diğer mozaikleme seçenekleriyle karşılaştırıldığında basınç ve çekme dayanımı ve verimidir. Düzenli bir poligonal mozaikleme köşeleri (yani, tavuk teli) arasındaki çizgi bölümlerinden oluşan soyut bir fiziksel "yapıyı" göz önüne alırsak, altıgen bir kafes şeklinde oluşturulan bu tür bir yapının ideal verimlilik ve dayanım harmanı sağlayacağı açıktır. benzer üçgen veya kare yapılar. Bu şekilde inşa edilen üçgen veya altıgen bir yapı, kare bir yapıdan gözle görülür şekilde daha güçlü olacaktır ve üçgen bir yapı, her şey eşit olmakla birlikte altıgen bir yapıdan daha güçlü olurken, aynı zamanda daha fazla malzeme kullanacak üç yerine her köşe) ve dolayısıyla daha az "verimli" olur
Kare kafeslerin altıgen veya üçgen kafeslerin gücünü paylaşmaması gerçeği, bir üç yapının bir resmini incelerken belirginleşir, her bir köşede yapının çizgi bölümlerinin içinde bulundukları kuvvetle birlikte itildiğini veya çekildiğini hayal eder fiziksel bir yapı. Her tepe noktasında tam 90 derecelik açıyla uzanan dört segment ile, kare yapının yatay veya dikey olarak kolayca kayabileceği açıktır - yapısını destekleyen başka açıları yoktur, bu yüzden sadece sıyrılırlar. Buna karşılık, üçgen ve altıgen konfigürasyonda, 60 ve 120 derecelik açılarda birleşen çizgi parçaları, herhangi bir kırılmayı veya çökmeyi önler - birbirlerini dengeler ve yükü (ne olursa olsun) eşit olarak dağıtırlar.
Örneğin, bir nesneyi "tutan" altıgen veya üçgen bir kafes hayal ederseniz, altıgen ve üçgen kafeslerin alternatif açılarının ortogonal olarak tutulan kare kafesin alacağından daha düşük seviyelere ağırlık dağıtmak için daha fazlasını yapacağı açıktır. Aynı prensip, örneğin üç boyutlu karbon dağıtım uygulamaları için de geçerlidir - örneğin, karbon nanotüplerin dikkat çekici gerilme kuvvetlerinde, jeodezik kubbelerin ağırlık dağılımında, vb.
Altıgenler ve daireler
Altıgen salmastra düzeni, daireleri düz bir düzlemde paketlemek için en etkili sistemdir. Yani, altıgen döşemede olduğu gibi, bir dairenin etrafına aynı büyüklükte altı komşu daireyi ve her birinin etrafına altı daireyi, ve dairelerin düzenlemesinin altıgenlerin düzenlemesiyle aynı olduğu şekilde süresiz olarak yerleştirebilirsiniz. altıgen bir mozaikleme. Başka bir deyişle, bir altıgen mozaikleme içine her altıgen içine daireler yazabilir, altıgenleri kaldırabilir ve biri mükemmel şekilde paketlenmiş daireler ile bırakılacaktır. Bu, altıgen olarak paketlenmiş dairelerin gerektiğinde altıgen veya üçgen ile kolayca modellenmesine izin vermesi gibi birçok nedenden dolayı faydalı ve ilginçtir.
Dairesel ve altıgen geometri arasındaki bu kesişme ile ilgili ilginç bir fenomen, altıgen desenlerin, doğal kuvvetler çevreleri yaklaşık olarak göstermeye çalışırken genellikle kendiliğinden ortaya çıkmasıdır. (Bu, hiç şüphesiz altıgenlerin genellikle çok "doğal" bir şekil olarak kabul edilme nedeninin büyük bir bölümünü oluşturur.) Örneğin, konveksiyon hücreleri genellikle altıgen şeklinde oluşur. Her bir hücre doğal olarak alanının en verimli şekilde korunmasına yöneldiğinden, daireselliğe yönelir, ancak her bir hücre kendisine karşı baskı yapan herhangi bir sayıda komşu hücreye sahip olduğu için, sonuç bir çeşit altıgen köşegendir. Bunun ilgili bir örneği, işgal altındaki İrlanda'daki Dev'in Geçidi olacaktı: Yapıyı oluşturan bazaltik lav başlangıçta soğurken, kabaca silindirik hücrelere büzüldü. Hücreler katı kayaya soğudukça,
Üç boyutlu kapalı ambalajlama alanlarında altıgenlerin de önemli bir rol oynadığını belirtmekte fayda var., hem altıgen kapalı ambalaj hem de yüz merkezli kübik sistemlerde. Hem HCP hem de FCC, altıgen paketlenmiş kürelerin "tabakalarından" oluşur - bunlar yalnızca yaprakların birlikte nasıl istiflendiğine göre değişir. İlgili isimlerine rağmen, yüz merkezli kübik paketlemenin aslında altıgen paketlemeden daha "altıgen" olduğu iddiasında bulunulmalıdır - ikincisi ismini bir kübiklik yokluğundan daha fazla alır. altıgenliğin üstünlüğü. Hem HCP hem de FCC'nin altıgen paketlemenin iki boyutta olduğundan çok daha az verimli olduğuna dikkat edin - ilki π / √12 yoğunluğa sahipken, ikincisi π / √12 yoğunluğa sahip. 8 boyuta kadar n-kürelerinin düzenli olarak yakın ambalajları da açıkça bilinir ve altıgen veya hiperhekagonal topolojileri içerebilir veya içermeyebilir.
Altıgenler ve üçgenler
Birçok yönden, üçgenler ve altıgenler arasındaki ilişki, altıgenler ve daireler arasındaki ilişkinin bir devamıdır. Onları kırılmayan bir geometrik sürekliliğin bir parçası olarak görüyorum (oldukça açık bir şekilde köklenmiş, sanırım, üç eşit boyutlu çemberin en yakın düzenlemesinin çemberlerin çapına eşit bir kenar uzunluğuna sahip bir eşkenar üçgen köşelerinde) . Ancak şimdilik, özellikle üçgenler ve altıgenler arasındaki ilişkiye bakalım:
Daha önce belirtildiği gibi, düzenli bir altıgen altı eşkenar üçgene bölünebilir. Altıgen ve üçgen sadece iki normal çokgendir ve bu özelliği paylaşan sadece iki normal çokluğun olduğuna inanıyorum. Altıgen eşkenar üçgenlere bölünebilir olmasının yanı sıra, üçgenin elbette alt üçgenlere bölünmesi de mümkündür ve bir tepe etrafında düzenlenmiş altı üçgenin gruplanması altıgen oluşturduğundan, üçgenler kalan üçgensel boşluklar da olsa altıgenlere bölünebilir üzerinde. 9 alt altıgene bölünmüş bir üçgen, altıgenin farklı kenarlarının kenarları bir araya gelinceye kadar ( Tetracty'ler gibi ) uzanarak oluşturulan üç eşkenar üçgenin bulunduğu altıgen şeklinde yorumlanabilir .
Topolojik olarak ilgili bir kavram, çgen içindeki altıgen paketlenmiş daireler, altıgenler veya noktalar şeklinde görselleştirilebilen üçgen sayılardır. Spesifik olarak, üçgen sayılar, 1'den n'ye kadar olan tüm doğal tam sayıların toplamı olarak tanımlanabilir , burada n , söz konusu figüran üçgenin her bir tarafındaki birim sayısıdır. Yani, üç nokta aldığınızı ve onları bir üçgen halinde yerleştirdiğinizi varsayalım. Üçgenin her tarafında iki nokta var ve 1 + 2 = 3. Bu üçgenin tabanına üç nokta daha ekleyiniz ve bu durumda yanlara üçer nokta olacak şekilde bir üçgene daha sahip olursunuz ve 1 + 2 + 3 = 6 (ayrıca, daha önce de belirtildiği gibi 1, 2 ve 3'ün ürünü olur). Ve bunun gibi. Üçgen kenar uzunluğu n sayısı da şu şekilde hesaplanabilir.n * ( n + 1) / 2 — böylece 3 * (3 + 1) / 2 = 3 + 2 + 1 = 6.
Aynı şekilde altıgen kafes aynı zamanda ortalanmış altıgen sayılar veya üçgen sayılara benzeyen altıgen sayılar tarafından da kullanılır , ancak elbette üçgenler yerine altıgenler bulunur. (Zor zamanları anlama zorluğum nedeniyle , " altıgen sayı " terimi, "üçgen sayı" veya "kare sayı" ile ne anlama geldiğine benzer bir şekilde, en azından bir şekilde değil. özellikle ilginç olur). n inci heks sayısı olarak ifade edilebilir altı kez üçgen sayısı (aynı n - 1) artı bir, ya da , n * (n-1) * olarak anlaşılabilir 3 + 1, Üç dikdörtgen artı orta nokta toplamı.
Heks numaraları ile ilgili bir başka ilginç aslında ilk toplamı yani n, heks numaralarının küp eşittir n . Örneğin, 1 + 7 = 2 3 = 8, 1 + 7 + 19 = 3 3 = 27, 1 + 7 + 19 + 37 = 4 3 = 64, vb. Bunu anlamak için bir küpün köşesine baktığınızı düşününÖyle ki, küp altıgen gibi görünüyor. Küpün aslında küp şeklinde düzenlenmiş alt küplerden oluştuğunu düşünün. Köşedeki ilk küp, 1 olan ilk altıgen sayısı olarak düşünülebilir, bunun altında 1'dir. Bunun altında ve çevresinde, köşe küpünün etrafında bir küp tabakası oluşturan yedi küp daha vardır; Aslında 7, vb. Onaltılık sayılar, köşe küpünden çıkan küplerin art arda "kabukları" olarak düşünülebilir. Bu nedenle, küpler ve altıgen sayıları aynı değerleri tanımlamak için sadece farklı şekillerdir - n'nin küpü bir küp olarak veya taban uzunluğu n olan altıgenlerin piramidi olarak düzenlenebilirve herhangi iki ardışık küp arasındaki farkın kendisi bir altıgendir. Yine altı yüzlü altıgen ve altı yüzlü küp arasındaki ilişkiyi ve uzantı olarak üç boyutlu uzayın altıgen ve altı "kenarı" arasındaki ilişkiyi görüyoruz.
Sonuç
Yine, bu makale sadece altıgenlerin ve benzerlerinin birçok ilginç özelliğinin yüzeyini çizmiştir. Nitekim, altıgenler çok soyut sıradışı yerlerde daha soyut matematiksel sistemlerde ortaya çıkarlar ve genel olarak benim şüphemdir ki, matematiğin tüm mantıksal ilişkilerini insanlığın anladığı ve tanımladığı gibi tanımlayacak olursanız, altıgen belirgin olarak tüm yapı boyunca yinelenen tema.
İnsan toplumu ilerledikçe, çok yönlü ve verimli altıgen için giderek daha fazla uygulama bulacağımızdan şüphemiz olmayacaktır. Tahta oyunlarımızı taşırken, etkin bir şekilde kapalı yapılarımızı oluştururken ya da temel matematiksel kavramları daha iyi anlamamıza yardımcı olmamıza yardımcı olun, zaman geçtikçe kendimizi daha altıgen bir dünyada yaşayacağız. Bilim kurgu filmlerinin ve televizyon programlarının - özellikle de uzayda belirlenmiş olanların - sıklıkla altıgen kapılar, altıgen uzay araçları, altıgen mimari ve benzerlerinin yer alması tesadüf mü? Bence değil. Toplumumuzun vizyonerleri ve sanatçıları ne geldiğini ve torunlarımız için neyin açık olacağını çoktan görmüşlerdir: altıgen prensiplere göre sıralı altıgen bir dünyada yaşadığımızı. Altıgenler tüm dünya sorunlarına bir çözüm olmayabilir. Hatta pek çok sorunun çözümü bile olmayabilir. Ancak bazı sorunların çözümü olacaklar ve bu birçok şey hakkında söyleyebileceğinizden daha fazlası.
Hayat Ağacı Altıgen Geometrisi
Bir polyhex, kenarlarında birleştirilen, düzenli altıgen bir mozaik şeklinde n düzenli altıgenlerden oluşan düz bir figürdür .
Polyhex'ler belki de aromatik hidrokarbonların çeşitli konfigürasyonlarını göstermek için kullanılabilecekleri organik kimyada en büyük faydalarını elde etmişlerdir, ancak aynı zamanda çoğu kez bulmacalarda, mantık oyunlarında ve diğer rekreasyonel matematiksel araştırmalarda da kullanılmaktadırlar. İlk birkaç ücretsiz polihex siparişinin spekülatif bir uygulaması Patrick Mulcahy'nin Altıgen Kütüphanemizdeki bir PDF dosyası olarak mevcut olan Hayat Ağacı Altıgen Geometrisi adlı makalesinde bulunabilir .
Yukarıdaki resimde, ilk altı sıra serbest poliheks sıralarını görüyoruz, rotasyonlar ve yansımalar ayrı formlar olarak sayılmaz. Polyhexes ayrıca şu şekilde sıralanabilir bir taraflı , yansımalar ancak rotasyonlar farklı formları olarak sayılır, ve benzeri gibi sabit dönme ve yansımalar hem de belirgin sayılır burada. Her üç numaralandırma tablosunu aşağıda bulabilirsiniz.
TAMAMEN BİR BİTKİNİN YETİŞMESİNE İMKAN OLMAYAN ATIL DURUMDAKİ YERİN NASIL BİR TROPİKAL BİR BAHÇEYE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLECEĞİ PROJESİ
Eden Projesinde Kullanılan Materyal-Malzeme-Yenilenebilir doğal kaynaklar vb...
Süper yalıtım
Bitkilerimizi Biyomlarda sıcak tutmak için gerçekten iyi bir yalıtım malzemesi kullanımına öncülük ettik. Çelik yapıdaki altıgen yastıklar, termal bir örtü görevi gören iki ETFE (Ethylen Tetra Fluoro Ethylen) tabakası (etilen tetrafloroetilen )(dış kaplama plastik kabarcık polietilen- mükemmel bir ısı yalıtım malzemesidir.Her bir kabarcığın içinde bulunan hava boşluğu, seradaki bitkileri dondan korur. ) arasında havayı hapseder.(Buradaki normal küçük kabarcık gibi, kompresörler tarafından şişirilen hafif ETFE yastıklar)(etfe film şişme yastık olarakta bilinir)
Etfe (EthylenTetraFluoroEthylen) fluoro polimer özellikli bir malzemedir.
Dupont firması tarafından uçak sanayi için geliştirilmiş ancak ışık geçirgenliği ve hafifliğinden dolayı günümüz mimarisinde de kullanılan bir ürün olmuştur. Genelikle 2 yada 3 tabakalı, şişme hava yastıkları şeklinde yada bazen tek cidar şeklinde uygulanmaktadır. Etfe malzeme çok ince ve hafiftir. Yaklaşık olarak camın %1 ağırlığında olup, daha fazla ışık geçirgenliği , kendini temizleme ile görselliği ve uygulama kolaylığı özellikleriyle daha ön plandadır. Etfe sistemlerde Hava şişirmeli sistem kullanıldığında mukavemeti çok artmaktadır.
Etfe Sistemler taşıyıcı karkas sistem üzerine özel Alüminyum profiller sayesinde monte edilmektedir. Şişme yastık sistemlerde hava üfleme (Blower) makineleri ile sistem beslenmekte herhangi bir kaçak yada ekstra basınç gereksinimin de sistem tekrar devreye girerek Etfe şişme yastık sistemlerin taşıyıcılığını sürekli sağlamaktadır.
Etfe sistemlerin tasarımını yaparken iklim koşulları, estetik, akustik ve çevresel faktörleri göz önünde mutlaka bulundurmak gerekir. Gereksinim-hizmet kıstaslarına göre form, baskılı ve 2 yada 3 kat özelliklerinde ki Etfe şişme yastıklar kullanılmalıdır.
Avantajları
1. Hafiflik
3 katmanlı Etfe şişme sistemin bağlantı alüminyumlarıyla birlikte ağırlığı ortalama 2-3 kg / m2 civarındadır. Bu özelliği ile cam ile kıyaslanamayacak bir avantajı vardır.
Bu özelliği ile büyük açıklıkların hafif taşıyıcı sistem ile geçilmesini sağlar. Dolayısı ile taşıyıcı altyapısı ile düşünüldüğünde çok daha fazla ekonomik çözümler sunar.
2. Yüksek ısı yalıtımı,
U : 1,9 W/m2 K değeri ile 6-12-6 Çift Cam dan daha iyi bir yalıtıma sahiptir.
3. Yüksek ışık geçirgenliği
Tek cidar ETFE nin %85-90 civarlarında ışık geçirgenliği vardır. Kapalı alanlara dış mekan gibi aydınlık sağlamaktadır. Ayrıca puantiyeli filmlerin kullanımıyla ışık geçirgenlik seviyesi kısmen kontrol edilebilir.
4. Elastic özelliği
Kopma durumuna kadar %600 uzayabilme durumuna rağmen strüktürel dayanımını sürdürür. Germe mukavemet sınırı 21-23N / mm2 kadar uzanabilir.kopma sınırı 52N / mm2 olup strüktürel hesaplarda 15 N / mm2 olarak düşünülür.
5. Kendi kendini temizleme özelliği
Yüzeyine toz vb. maddelerin yapışmamasından dolayı çok az yağmurda bile kendini temizleme özelliğine sahiptir. Sistemlerin yağmur suyu ile temizlenebilmesi, periyodik bakım ve temizlik maliyetini düşürmektedir.
6. Uzun ömür
UV, hava kirliliği ve çevre şartlarına karşı dayanıklılığından dolayı Yaklaşık 25 yıldan fazla ömre sahiptir.
7. Akustik
Etfe filmler %70 akustik geçirgenliğe sahiptir.
8. Yangın dayanımı
DIN 4102 Class B1
EN 13501-1 Class B-s1,d0
NFP 92-505 M2
NFPA 701 Pass
etfe ile ilgili bu video açıklayıcı olacaktır.
Hava sirkülasyonu yastıklara bağlanan hava borularıyla sağlanır.
Etfe sistemlerin tasarımını yaparken iklim koşulları, estetik, akustik ve çevresel faktörleri göz önünde mutlaka bulundurmak gerekir. Gereksinim-hizmet kıstaslarına göre form, baskılı ve 2 yada 3 kat özelliklerinde ki Etfe şişme yastıklar kullanılmalıdır.
Avantajları
1. Hafiflik
3 katmanlı Etfe şişme sistemin bağlantı alüminyumlarıyla birlikte ağırlığı ortalama 2-3 kg / m2 civarındadır. Bu özelliği ile cam ile kıyaslanamayacak bir avantajı vardır.
Bu özelliği ile büyük açıklıkların hafif taşıyıcı sistem ile geçilmesini sağlar. Dolayısı ile taşıyıcı altyapısı ile düşünüldüğünde çok daha fazla ekonomik çözümler sunar.
2. Yüksek ısı yalıtımı,
U : 1,9 W/m2 K değeri ile 6-12-6 Çift Cam dan daha iyi bir yalıtıma sahiptir.
3. Yüksek ışık geçirgenliği
Tek cidar ETFE nin %85-90 civarlarında ışık geçirgenliği vardır. Kapalı alanlara dış mekan gibi aydınlık sağlamaktadır. Ayrıca puantiyeli filmlerin kullanımıyla ışık geçirgenlik seviyesi kısmen kontrol edilebilir.
4. Elastic özelliği
Kopma durumuna kadar %600 uzayabilme durumuna rağmen strüktürel dayanımını sürdürür. Germe mukavemet sınırı 21-23N / mm2 kadar uzanabilir.kopma sınırı 52N / mm2 olup strüktürel hesaplarda 15 N / mm2 olarak düşünülür.
5. Kendi kendini temizleme özelliği
Yüzeyine toz vb. maddelerin yapışmamasından dolayı çok az yağmurda bile kendini temizleme özelliğine sahiptir. Sistemlerin yağmur suyu ile temizlenebilmesi, periyodik bakım ve temizlik maliyetini düşürmektedir.
6. Uzun ömür
UV, hava kirliliği ve çevre şartlarına karşı dayanıklılığından dolayı Yaklaşık 25 yıldan fazla ömre sahiptir.
7. Akustik
Etfe filmler %70 akustik geçirgenliğe sahiptir.
8. Yangın dayanımı
DIN 4102 Class B1
EN 13501-1 Class B-s1,d0
NFP 92-505 M2
NFPA 701 Pass
etfe ile ilgili bu video açıklayıcı olacaktır.
Ziyaretçilerimizi ve çalışanlarımızı sıcak tutmak için binalarımızı geri dönüşümlü gazete ile izole ettik. Ayrıca, personel binalarımızdan birinin arkasında, kışın daha sıcak ve yazın daha serin kalmasına yardımcı olan yeşil bir çatı yarattık. Kuşlar ve böcekler de öyle.
Enerji üretimi
Bunun uğruna sadece yenilenebilir enerji teknolojisi kurmak yerine, enerji tüketimimizi azaltmaya öncelik verdik. Ancak, ziyaretçilerimize bu doğal enerji kaynaklarının ne kadar güçlü olduğunu gösterebilmek için Çekirdek çatısına fotovoltaik paneller ekledik.
Eden'de enerji kullanımıyla nasıl mücadele ettiğimizi öğrenin .
Su hasat
İlk etapta su kullanımımızı azaltmanın yanı sıra, düşük floş tuvaletler ve kendilerini kapanan musluklar takarak, bitkileri yıkamak ve bitkileri sulamak için kendi suyumuzu alıyoruz.
Suya yaklaşımımız hakkında daha fazla bilgi edinin .
Doğal ışık
Çok fazla sayıda doğal ışığa izin veren binaların tasarlanması, elektrik tasarrufu (pencereler iyi yalıtılmışsa) ve daha mutlu, daha uyanık insanlar anlamına gelebilir.
Sürdürülebilir kaynaklı malzemeler
Yapı malzemelerini seçerken düşünülmesi gereken çok şey var - ne şekilde yapıldıkları, ne kadar seyahat etmeleri gerektiği, ne kadar sürecekleri. Tek bedene uyan tek bir çözüm yok; bunun yerine, Eden'de, her durumda en iyi malzemeyi seçmeye çalışıyoruz ve aşağıdakiler de dahil olmak üzere farklı hususları tartıyoruz:
Geri dönüştürülmüş malzemeler
Çekirdeğin geri dönüşümlü yapı malzemelerinin bazı yenilikçi örneklerini bulabilirsiniz: zemindeki yeşil karolar orijinal olarak Heineken şişeleriydi, giriş paspasları geri dönüştürülmüş kamyon lastiklerinden yapılmış ve kafe zemini geri kazanılmış ahşaptan yapılmış.
Sorumlu üreticiler
Tedarikçilerimizle satın aldığımız malzemeleri nasıl ürettikleri hakkında konuşuruz - ve bazı durumlarda onlardan bizim için farklı şeyler yapmayı bile düşünmelerini istedi.
Örneğin, Çekirdeğin çatısı için bakırın kaynağı, tek kaynaklı izlenebilirliğe öncülük eden mineral tedarik zincirinde yeni bir yaklaşıma işaret ediyordu. Açık piyasada bakır elde etmek yerine (kökeni karışık ve tespit edilemeyen), kaynak sağlamak için uluslararası mineraller şirketi Rio Tinto ile yakın çalıştık. Bakır, dünya genelinde çevre yönetim sistemleri için ISO 14001 çevre sertifikasına sahip bir maden olan tek bir kaynaktan - dünyadaki üretici KME'ye, Almanya'daki ve oradan da Eden'deki kurulumuna kadar izlendi. Pdf raporumuzda bunun hakkında daha fazla bilgi edinin .
Düşük atık üretimi
Yapabildiğimizde, üretimi gereksiz atık yaratmayan ürünlere gidiyoruz. Çekirdeğin tavanında görebileceğiniz güzel kavisli kirişler, kesimleri bir yakıt olarak kullanılan güçlü bir malzeme olan Glulam (ahşap tutkalı lamine katmanları) kullanılarak yapılmıştır.
Daha az malzeme
Binalarımız mümkün olan en az inşaat ürününe ihtiyaç duyacak şekilde tasarlanmıştır. Örneğin, Biomes'in altıgenleri doğanın peteklerini kopyalar: minimum malzemeler kullanarak maksimum güç.
Kubbe yapısı iki katmana ayrılmıştır
Dış yüzey altıgen bir çerçeveye, iç katman üçgen ve altıgen bir ızgaraya dayanıyor
Kubbeler arasındaki kesişme çizgisinde karmaşık, üç akorlu, üçgen çelik kafesler mevcut.
Düşük karbonlu ürünler.
İnşaat malzemeleri, enerji yoğun bir üretim sürecinde ya da kullanım noktasına uzun bir şekilde taşınmaları gerektiğinden, çok sayıda karbon emisyonuna neden olabilir. Ayrıca, ürünler bazen dayanıklı değildir, bu da yakın gelecekte değiştirilmeleri gerekeceği anlamına gelir. Çekirdeği oluştururken bunun kararlarımızı nasıl etkilediğini öğrenin .
Kaynaklar:
https://hexnet.org/content/eden-project-geodesic-domes
https://www.edenproject.com/eden-story/behind-the-scenes/sustainable-construction-at-eden
https://www.srm.com/projects/eden-project/
https://tr.blabto.com/4180-9-tips-on-choosing-a-film-for-the-greenhouse.html
https://buildingskins.wordpress.com/category/plastics-etfe/
https://www.tensaform.com/tr/teknik-bilgiler/montaj/etfe-film-montaji/
https://www.tensaform.com/media/7146/etfe-sunum.pdf
 (Eden Geodesic Dome GreenHouse Project)){kind=link}
0 Yorumlar